Los tres problemas clásicos de la matemática griega.

Publicado el 23 de Junio de 2022 | Matemáticas

Para el filósofo Platón los entes geométricos ideales eran la recta y la circunferencia. Por lo anterior, la geometría habría que limitarla a las construcciones con regla y compás. Hay que aclarar que la regla sólo se utiliza para trazar rectas y por tanto no es una regla metrizada.

Este tipo de problemas se resolvieron después utilizando otros instrumentos y permitieron encontrar respuestas adecuadas a los tres problemas clásicos. Los tres problemas clásicos de la Matemática Griega fueron: La Cuadratura del Círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Comentémoslos brevemente:

• La Cuadratura del Círculo ya lo comentamos en otro post.

• Duplicación del Cubo. Se trata de resolver el siguiente problema: Construir, utilizando solamente regla y compás, la arista de un cubo que duplique el volumen de un cubo conocido. Un simple análisis de construcciones con regla y compás revela, empleando algunas nociones de geometría analítica, que los segmentos construidos a partir de otros segmentos dados, son expresables por raíces cuadradas y al iterar esas construcciones aparecen nuevamente sólo raíces cuadradas y nunca de otro índice. Ahora en el problema de la duplicación del cubo, el elemento de solución de este problema no es expresable por raíces cuadradas de las que pueden construirse con regla y compás, por tanto, no puede construirse solo con regla y compás.

• Trisección del ángulo. El problema se enuncia del siguiente modo: Dividir un ángulo dado en tres ángulos parciales iguales, usando solo regla y compás. El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto), pero es imposible de resolver en general, como demostró Pierre Wantzel en 1837.

Hoy nos centraremos en el triángulo, esa figura sencilla, el polígono regular de menos lados para cubrir una superficie, la mesa que nunca cojeará… Pero, ¿cuál es el centro de un triángulo? Un triángulo tiene muchos “centros”. Imaginad un triángulo rígido de cartón. El centro de gravedad es el punto en el que si apoyamos el triángulo sobre una aguja este se mantiene en equilibrio. Los griegos ya habían descubierto que el centro de gravedad es el punto donde se cortan las medianas, el baricentro.

Pero podemos considerar el centro del triángulo como el centro de la circunferencia circunscrita, la que pasa por sus tres vértices. Ese punto es el circuncentro, el punto donde se cortan las tres mediatrices.

¿Y por qué no el centro de la circunferencia tangente a los tres lados? Ese punto es el incentro, el punto donde se cortan las tres bisectrices.

Las tres alturas se cortan en un mismo punto llamado ortocentro.

Aplicación en el aula

En un triángulo cualquiera cada uno tiene una posición distinta. Pero no una posición cualquiera. En el siglo XVIII el genial matemático suizo Leonhard Euler demostró que en todos los triángulos, tres de esos cuatro puntos, el baricentro, el ortocentro y el circuncentro están situados siempre formando una línea recta: la famosa recta de Euler.

Mostrar gráficamente en qué triángulo coinciden los cuatro centros de un triángulo (baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro) en uno solo.

¿En qué tipo de triángulos coinciden alguno de estos cuatro centros?

Por Santiago García