Fermat, ¿el teorema más famoso del mundo?

Publicado el 6 de Mayo de 2019 | Matemáticas

¿Cuántos teoremas conoces? Estoy casi seguro que los podrías contar con los dedos de la mano. Hoy quiero compartir contigo el teorema de Fermat, yo diría que no es el Teorema más famoso, pero sí el que tiene la historia más mediática de la historia. Fermat lo descubrió y escribió esta frase en el margen del libro “Aritmética” de Diofanto:

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él.

En el caso de potencia al cuadrado se trataría de hallar números que cumplan el Teorema de Pitágoras. Os dejo que juguéis a probar números con la propiedad de Fermat o de Pitágoras. Pero hoy vamos a tratar esa última frase. Por esa frase tiene tanta fama el Teorema de Fermat, en su momento, Conjetura de Fermat. Fermat dijo que lo tenía demostrado pero que no le cabía. Eso para un matemático es una faena, dejar algo sin demostrar está feo. Sobre todo cuando seguramente sería falso, ya que 300 años pasaron hasta que Andrew Wiles lo demostrara finalmente. Pero ese tiempo no fue en vano, vamos a recorrer esos 300 años paso a paso:

1637. Fermat propone la conjetura x^n+y^n≠z^n para números enteros y n>2. Se considera que Fermat demostró el caso n=4, pues se puede encontrar a través de su método de demostración favorito: el descenso infinito. Este caso es primordial, pues sirve para generalizar el teorema para todos los números múltiplos de 4.

1735. Setenta años tuvieron que pasar para encontrar una desmotración del caso n=3. Leonhard Euler escribió a Goldbach certificando tener una demostración, en la que se encontraron errores, que poco después se pudieron corregir por anteriores trabajos de Euler.

1808. Otros setenta años pasaron hasta Sophie Germain, la matemática autodidacta que se hizo pasar por hombre para hablar con los grandes matemáticos del siglo XIX como Lagrange (su mentor) y Gauss, con el pseudónimo de Señor LeBlanc. Comunicó a Gauss su más brillante descubrimiento en Teoría de Números, que pasaría a ser el Teorema de Germain: si x, y, z son números enteros, tales que x^5+y^5+z^5=0 entonces, al menos uno de los números x, y o z debe ser divisible por 5. Más tarde generalizó este resultado en el teorema que hoy lleva su nombre. A partir de entonces la demostración del Último Teorema de Fermat se dividió en dos casos: el primero consistía en probarlo cuando ninguno de los números x, y, z es divisible por n, y el segundo cuando uno solo de los tres es divisible por n. Germain consiguió demostrar el primer caso para las potencias menores de 100.

1825. Legendre y Dirichlet completaron la demostración para n = 5 en el segundo caso.

1839. El matemático francés Gabriel Lamé consigue demostrar el caso n=7.

1843. Ernst Kummer demuestra el teorema para las potencias de múltiplos de primos regulares, un caso especial de número primo que se creyó por un momento que serían todos los números primos (el 37, 59 o 67 no lo son). Un año después, Dirichlet descubrió el fallo, y Kummer se centró en la estructura de los primos regulares.

1955. Tras más de 100 años, una propuesta de problema abierto no provocó ningún impacto, pero sería clave para su futura demostración. En un área reciente de Álgebra Avanzada, los japoneses Taniyama y Shimura proponen una conjetura sobre curvas elípticas, la conjetura de de Taniyama-Shimura o de la modularidad. Sorprendentemente, Taniyama se suicidó poco después.

1985. La llamada conjetura épsilon propuesta por Jean-Pierre Serre, enunciaba que la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría la demostración del Último Teorema de Fermat. Ken Ribet demostraba esta conjetura épsilon y pasó a llamarse Teorema de Ribet. Demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura se convierte entonces en el último eslabón.

1993. Andrew Wiles presenta en la Universidad de Cambridge ante la comunidad matemática una demostración de la conjetura Taniyama-Shimura, y por tanto, del ansiado problema. El manuscrito de 100 páginas contenía un error, y Wiles se encerró para solucionarlo.

1995. Andrew Wiles, junto a su compañero Richard Taylor, conseguía al fin publicar el artículo que daba por cerrado el Último Teorema de Fermat.

Con tanto tiempo por en medio, casi 350 años, cualquiera diría que se desaprovechó mucho esfuerzo. El camino es lo importante y la búsqueda de esta demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX. Fue intentando demostrar esta Conjetura (antes de ser Teorema) como nacieron otras teorías, como la Teoría de Códigos, la Criptología, sin las que no tendríamos un MP3, una tarjeta de crédito… El caso es que no seríamos lo que somos sin este camino. ¿Mereció la pena? Seguro que sí.

Por Santiago García