Euclides y el edificio de la Geometría

Publicado el 10 de Octubre de 2023 | Matemáticas

Un tal Euclides, hacia el año 300 a.C., estableció los llamados “Postulados de Euclides” contenidos dentro del segundo libro más publicado de la historia (después de la Biblia), Los Elementos, los primeros ladrillos en el gran edificio de la Geometría. El edificio tiene su nombre y todo: Geometría Euclídea. Con esa geometría trazamos rectas, círculos y figuras con un criterio común, universal. Trabajar con regla y compás se convirtió en una labor perfecta en su axiomática, “libre de especuladores”.

Los Elementos de Euclides es una obra dividida en 13 libros y es el segundo libro más publicado detrás de la Biblia. Los Postulados son estos 5:

1. Se puede trazar una única recta entre dos puntos distintos cualesquiera.

2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.

3. Existe una única circunferencia con un centro y un radio dados.

4. Todos los ángulos rectos (90º) son iguales.

5. Si una secante corta dos rectas formando dos ángulos interiores cuya suma es menor que dos ángulos rectos, las otras dos rectas se cortan por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

El último postulado tiene un equivalente más sencillo y más usado:

5*. Axioma de Playfair: por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Con estos postulados ya no podemos decir falsedad alguna, siempre y cuando estemos en ese edificio. Les llamamos postulados o axiomas a estas reglas iniciales, como hicimos con los de Peano en los números naturales, y a partir de ahí construimos nuestro edificio de verdades absolutas. En el edificio hay teoremas en los que podemos creer ciegamente, hay propiedades geométricas que son ciertas pase lo que pase ese día, esa semana, ese siglo…

Sobre este edificio se construye el Teorema de Pitágoras, que tiene un capítulo dedicado, “of course”. Hay propiedades como: la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo (cualquier triángulo) es 180º; y hablamos de cualquier triángulo, sin clasismo ninguno. Todo lo que ocurre sobre estos 5 axiomas es verdadero y eterno.

Nos hemos puesto espirituales, ¿verdad? Las matemáticas son así. Es la única ciencia que funciona de esta manera. Otras ciencias siguen teorías, leyes, fórmulas, que son ciertas mientras no se demuestre lo contrario o exista una teoría más plausible. En matemáticas, a partir de los axiomas escribimos verdades, siempre ciertas, el 100% de las veces.

Parecen más bien dogmas de fe, pero no lo son. De hecho, si nos cuestionamos algún axioma nos pueden salir otros grandes edificios llenos de diferentes verdades absolutas. Nunca dirán lo contrario, simplemente forman palabras en otra lengua. Por ejemplo, el quinto de los Postulados de Euclides fue cuestionado en el siglo XIX por matemáticos como János Bolyai, Nikolái Lobachevski o el mismísimo Carl Friedrich Gauss, y con eso estudiaron grandes verdades, verdades que dieron lugar a un edificio muy interesante que llevaría a lo que se llama ahora Geometría Hiperbólica, la primera Geometría no euclídea en trabajarse. Y todo vino por dudar del quinto postulado de Euclides.

Aplicación en el aula

Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas y explica qué axioma de Euclides usarías para demostrarlo (usando los 4 primeros únicamente):

a) Una recta puede ser infinita

b) Cada triángulo rectángulo es distinto

c) Las rectas se definen por más de dos puntos

d) Pueden existir dos circunferencias con un mismo radio y dos centros distintos

Por Santiago García