CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Contenido

Acerca de los autores vii

Prefacio ix

Capítulo 1 Limites 1

Introducción 1

1.1. Definición informal del límite 2

1.1.1. Idea intuitiva del límite usando diferentes representaciones del límite de una función 2

1.2. Límite de una función 5

1.2.1. Definición formal de límite 6

1.2.2. Leyes de los límites 7

1.2.3. Determinación algebraica del límite 11

1.2.4. Límites trigonométricos 15

1.2.5. Límites unilaterales 20

1.2.6. Límites infinitos y asíntotas verticales 24

1.2.7. Límites en el infinito y asíntotas horizontales 33

1.2.8. Límites infinitos en el infinito 37

1.2.9. Asíntotas oblicuas 39

1.3. Continuidad 43

1.3.1. Idea intuitiva de continuidad 43

1.3.2. Continuidad en un punto 43

1.4. Derivada 51

1.4.1. El problema de la tangente y la velocidad 52

1.4.2. Definición de la derivada 57

Capítulo 2 La derivada y sus aplicaciones 61

Introducción 61

2.1. Teoremas de derivación 62

2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas 62

2.1.2. Derivadas de polinomios 66

2.1.3. Derivadas de funciones trigonométricas 69

2.1.4. Derivadas de funciones trascendentales 75

2.1.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas 82

vi ^ Contenido

2.2. Regia de la cadena 87

2.2.1. Derivadas implícitas 90

2.2.2. Derivadas de orden superior 98

2.2.3. Teorema del valor medio 99

2.3. Aplicaciones de la derivada 101

2.3.1. Problemas de razón de cambio 105

2.3.2. Problemas de optimización 116

2.3.3. Regia de L'Hopital 125

2.3.4. Análisis de una función 131

2.3.5. Método de Newton-Raphson 148

2.4. Definición de antiderivada o primitiva 151

Capítulo 3 La integral y sus aplicaciones 157

Introducción 157

3.1. Teorema fundamental del cálculo 158

3.1.1. Reglas básicas de integración 158

3.1.2. Notación de la integral indefinida 160

3.1.3. Definición de la integral definida 174

3.2. Integrales impropias 178

3.2.1. Limites infinitos 178

3.2.2. Integrales impropias 180

3.2.3. Integración por sustitución y cambio de variable 183

3.2.4. Integración de funciones exponenciales, logarítmicas y algebraicas 202

3.2.5. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas

y de estructura similar 207

3.2.6. Integración al completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP) 212

3.3. Técnicas de integración 217

3.3.1. Integración por partes 218

3.3.2. Integración de potencias de funciones trigonométricas 229

3.3.3. Integración por sustitución trigonométrica 248

3.3.4. Integración por descomposición en fracciones parciales 252

3.4. Aplicaciones de la integral 261

3.4.1. Integración numérica 261

3.4.2. Regia del trapecio y de Newton-Cotes 263

3.4.3. Área entre curvas, longitud de curva 267

3.4.4. Volúmenes de revolución 276

3.4.5. Problemas de ingeniería química para determinar el trabajo 280

Bibliografía 285

Índice analítico 287

En Cálculo diferencial e integral, los autores plantean con claridad las bases teóricas del cálculo, así como el procedimiento paso a paso para resolver los ejemplos presentados en este libro.

En el primer capítulo se aborda el estudio de los límites y su aplicación para comprender el comportamiento de las funciones en la cercanía de valores especiales, así como el tema de continuidad y el procedimiento a seguir para que una función sea continua. Finalmente, en este capítulo se aborda la definición de derivada, la cual no se podría detallar sin antes comprender el concepto de límite.

En el capítulo 2, se ensena como derivar una función, para lo cual se proponen varios ejercicios resueltos paso a paso, seguidos de algunas aplicaciones. Finalmente, el tema de análisis de una función se condensa y aborda en un solo apartado.

Por último, en el capítulo 3, se presenta el cálculo integral y sus aplicaciones, iniciando con el concepto de antiderivada y con la explicación de las fórmulas de integración, y finalizando con las aplicaciones más comunes de la integral.